在数学领域，方程x2y2=4是一个简单而又充满魅力的代数式。它不仅揭示了有理数和整数之间的关系，还引发了关于有理点数量的深入探讨。本文将带领读者一探究竟，解析这个方程中有多少有理点。
一、方程概述
方程x2y2=4可以简化为x2=4/y2。这个方程实际上描述了一个抛物线y2=4/x2在坐标平面上的图像。由于方程中只包含有理数，因此我们只关注有理数解。
二、有理点求解
1. 基本思路
要找出方程x2y2=4的所有有理点，我们可以通过枚举x和y的所有可能的有理数解来实现。由于x和y是有理数，它们可以表示为分数形式p/q，其中p和q是互质的整数。
2. 枚举解的过程
我们可以从x=1开始，逐步增加x的值，同时计算对应的y值。由于x2=4/y2，我们可以得到y2=4/x2，进而得到y=±2/x。因此，对于每个x的值，我们都可以找到两个对应的y值，一个正数和一个负数。
- 当x=1时，y=±2，得到有理点(1, 2)和(1, -2)。
- 当x=2时，y=±1，得到有理点(2, 1)和(2, -1)。
- 当x=3时，y=±2/3，得到有理点(3, 2/3)和(3, -2/3)。
- 以此类推，我们可以继续枚举x的值，直到x的绝对值超过2。
三、结论
通过上述枚举过程，我们可以发现，方程x2y2=4在坐标平面上共有4个有理点，分别是(1, 2)、(1, -2)、(2, 1)和(2, -1)。这些有理点完美地满足方程条件，揭示了有理数在代数方程中的奇妙性质。
