探究极限：arctan(1/x) 的极限值解析

在数学分析中，arctan(1/x) 的极限是一个基础而富有挑战性的问题。这一极限的求解不仅考验了我们对极限概念的理解，还涉及到函数的连续性和可导性。以下是关于 arctan(1/x) 极限的几个常见问题及其解答。

问题一：arctan(1/x) 在 x 趋向于无穷大时的极限是多少？

当 x 趋向于无穷大时，即 x → +∞，函数 arctan(1/x) 的极限是 0。这是因为随着 x 的增大，1/x 的值会趋向于 0，而 arctan(0) 的值就是 0。数学表达式为：

lim (x → +∞) arctan(1/x) = 0

同样地，当 x 趋向于负无穷大时，即 x → -∞，函数 arctan(1/x) 的极限也是 0。这是因为 1/x 在 x 趋向于负无穷大时，其值同样趋向于 0，而 arctan(0) 的值仍然是 0。数学表达式为：

lim (x → -∞) arctan(1/x) = 0

当 x 趋向于 0 时，即 x → 0，函数 arctan(1/x) 的极限不存在。这是因为当 x 接近 0 时，1/x 的值会变得非常大，导致 arctan(1/x) 的值在正负之间震荡，没有稳定的极限值。数学上，我们通常表示为：

lim (x → 0) arctan(1/x) = DNE (Does Not Exist)

尽管 arctan(1/x) 在 x 趋向于无穷大和负无穷大时的极限存在且为 0，但在 x 趋向于 0 时极限不存在。因此，整体而言，arctan(1/x) 的极限不存在。这是因为极限的存在性要求函数在某一极限点附近的行为必须稳定，而 arctan(1/x) 在 x 接近 0 时表现出不稳定性。