介绍：
在数学领域，极限是一个非常重要的概念，它描述了当变量无限接近某个值时，函数的行为趋势。本文将深入探讨一个经典的极限问题：当 x 趋向于 0 时，表达式 1/x sin(1/x) 的极限值是多少？这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学内涵。
极限概念简介
我们需要了解什么是极限。在数学中，当 x 趋向于某个值 a 时，如果函数 f(x) 的值能够无限接近某个确定的值 L，那么我们称 L 为 f(x) 当 x 趋向于 a 时的极限，记作 lim(x→a)f(x) = L。
问题分析
针对题目中的表达式 1/x sin(1/x)，我们可以从以下几个方面进行分析：
1. 正弦函数的性质：正弦函数的值域在 [-1, 1] 之间，这意味着 sin(1/x) 的取值始终在 -1 和 1 之间。
2. 分母的影响：当 x 趋向于 0 时，1/x 的值会无限增大，这意味着分母对整个表达式的值会产生很大影响。
3. 极限的性质：根据极限的性质，如果函数在某个区间内连续，那么该函数在该区间的极限值等于该函数在该点的函数值。
解答过程
基于以上分析，我们可以得出以下结论：
1. 由于 sin(1/x) 的值始终在 -1 和 1 之间，因此 1/x sin(1/x) 的值将在 -1/x 和 1/x 之间波动。
2. 当 x 趋向于 0 时，1/x 的值会无限增大，这意味着 1/x sin(1/x) 的值将无限接近于 0。
3. 因此，我们可以得出结论：当 x 趋向于 0 时，1/x sin(1/x) 的极限值为 0。
通过以上分析，我们不仅解答了这个问题，还深入探讨了极限的概念及其在数学中的应用。这个问题虽然简单，但从中我们可以感受到数学的魅力和深度。
