积分计算：求解不定积分(coslnx x)dx的解析过程

在数学分析中，不定积分(coslnx x)dx是一个常见的积分问题，涉及到对数函数和三角函数的积分。以下是对该积分进行求解的详细过程。

问题一：如何理解(coslnx x)dx的积分表达式？

表达式(coslnx x)dx中的被积函数是由两部分组成的：coslnx和x。这里的coslnx表示对数函数lnx的余弦值，而x则是直接乘以余弦函数。这种形式的积分在解析时需要用到积分技巧，如分部积分法。

问题二：求解(coslnx x)dx时，为什么选择分部积分法？

分部积分法是一种常用的积分技巧，适用于处理包含乘积形式的积分。在本例中，coslnx和x的乘积使得直接积分变得复杂。通过分部积分，可以将一个复杂的积分问题转化为两个较为简单的积分问题，从而简化计算过程。

问题三：分部积分法的具体步骤是怎样的？

使用分部积分法求解(coslnx x)dx的步骤如下：

• 选择u和dv：令u = lnx，dv = cosxdx。这样，du = (1/x)dx，v = sinx。
• 应用分部积分公式：根据分部积分公式，原积分可以表示为

  • uv ∫vdu

• 代入并简化：将u、v、du和dv代入上述公式，得到

  • lnxsinx ∫sinx(1/x)dx

• 再次使用分部积分：对于剩余的积分∫sinx(1/x)dx，再次使用分部积分法，选择u = 1/x，dv = sinxdx，得到

  • lnxsinx sinxlnx + ∫lnxcosxdx

• 迭代求解：重复上述步骤，直到积分可以简化或直接求解。

问题四：最终积分结果是多少？

经过多次分部积分和简化，最终积分结果为

• sinlnx + C

其中C是积分常数。

问题五：如何验证积分结果的正确性？

验证积分结果的方法之一是通过对结果求导，看是否能还原到原始的被积函数。在本例中，对sinlnx + C求导，得到的结果确实是(coslnx x)dx，从而验证了积分结果的正确性。